Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & - 8 + 0 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 - λ & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Addiere $- 8$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & - 8 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 - λ & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 6$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & - 8 & - 6 \\ - 8 + 0 & 6 - λ & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $- 8$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 - λ & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $- 8$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 - λ & - 8 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $8$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 - λ & - 8 \\ 8 & - 7 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $- 7$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 - λ & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 - λ & - 8 \\ - 7 & 10 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 4 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & - 8 \\ - 7 & 10 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 4 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & - 8 \\ - 7 & 10 - λ \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 6 - λ & - 8 \\ - 7 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 4 - λ) ((6 - λ) (10 - λ) - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.1

Multipliziere $(6 - λ) (10 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 4 - λ) (6 (10 - λ) - λ (10 - λ) - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 4 - λ) (6 \cdot 10 + 6 (- λ) - λ (10 - λ) - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 4 - λ) (6 \cdot 10 + 6 (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 + 6 (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 6 λ - λ \cdot 10 - λ (- λ) - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 6 λ - 10 λ - λ (- λ) - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 6 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 6 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 6 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 6 λ - 10 λ + 1 λ^{2} - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 6 λ - 10 λ + λ^{2} - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.2

Subtrahiere $10 λ$ von $- 6 λ$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 16 λ + λ^{2} - (- 7 \cdot - 8)) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.3

Multipliziere $- (- 7 \cdot - 8)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 8$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 16 λ + λ^{2} - 1 \cdot 56) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $56$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (60 - 16 λ + λ^{2} - 56) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.2

Subtrahiere $56$ von $60$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (- 16 λ + λ^{2} + 4) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.3

Stelle $- 16 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 | \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 8 & - 8 \\ 8 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (- 8 (10 - λ) - 8 \cdot - 8) - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (- 8 \cdot 10 - 8 (- λ) - 8 \cdot - 8) - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $10$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (- 80 - 8 (- λ) - 8 \cdot - 8) - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (- 80 + 8 λ - 8 \cdot - 8) - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (- 80 + 8 λ + 64) - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.2

Addiere $- 80$ und $64$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (8 λ - 16) - 6 | \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$

Schritt 1.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 8 & 6 - λ \\ 8 & - 7 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (8 λ - 16) - 6 (- 8 \cdot - 7 - 8 (6 - λ))$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (8 λ - 16) - 6 (56 - 8 (6 - λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (8 λ - 16) - 6 (56 - 8 \cdot 6 - 8 (- λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (8 λ - 16) - 6 (56 - 48 - 8 (- λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (8 λ - 16) - 6 (56 - 48 + 8 λ)$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $48$ von $56$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 + 8 λ)$

Schritt 1.5.4.2.3

Stelle $8$ und $8 λ$ um.

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4) + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.1

Multipliziere $(- 4 - λ) (λ^{2} - 16 λ + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 4 (- 16 λ) - 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 16 λ) - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 16 λ) - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 16 λ) - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 16 λ) - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 16 λ) - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 16 λ) - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ^{3} - λ (- 16 λ) - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 16 λ \cdot λ - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 16 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 16 λ^{2} - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ^{3} + 16 λ^{2} - λ \cdot 4 + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ^{3} + 16 λ^{2} - 4 λ + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.3

Addiere $- 4 λ^{2}$ und $16 λ^{2}$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 64 λ - 16 - λ^{3} - 4 λ + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.4

Subtrahiere $4 λ$ von $64 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 60 λ - 16 - λ^{3} + 8 (8 λ - 16) - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 12 λ^{2} + 60 λ - 16 - λ^{3} + 8 (8 λ) + 8 \cdot - 16 - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 60 λ - 16 - λ^{3} + 64 λ + 8 \cdot - 16 - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 16$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 60 λ - 16 - λ^{3} + 64 λ - 128 - 6 (8 λ + 8)$

Schritt 1.5.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 12 λ^{2} + 60 λ - 16 - λ^{3} + 64 λ - 128 - 6 (8 λ) - 6 \cdot 8$

Schritt 1.5.5.1.9

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 60 λ - 16 - λ^{3} + 64 λ - 128 - 48 λ - 6 \cdot 8$

Schritt 1.5.5.1.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $8$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 60 λ - 16 - λ^{3} + 64 λ - 128 - 48 λ - 48$

Schritt 1.5.5.2

Addiere $60 λ$ und $64 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 124 λ - 16 - λ^{3} - 128 - 48 λ - 48$

Schritt 1.5.5.3

Subtrahiere $48 λ$ von $124 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 76 λ - 16 - λ^{3} - 128 - 48$

Schritt 1.5.5.4

Subtrahiere $128$ von $- 16$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 76 λ - λ^{3} - 144 - 48$

Schritt 1.5.5.5

Subtrahiere $48$ von $- 144$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 76 λ - λ^{3} - 192$

Schritt 1.5.5.6

Bewege $76 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} - λ^{3} + 76 λ - 192$

Schritt 1.5.5.7

Stelle $12 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 12 λ^{2} + 76 λ - 192$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 12 λ^{2} + 76 λ - 192 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $- λ^{3} + 12 λ^{2} + 76 λ - 192$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

Schritt 1.7.1.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$- 2^{3} + 12 \cdot 2^{2} + 76 \cdot 2 - 192$

Schritt 1.7.1.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 12 \cdot 2^{2} + 76 \cdot 2 - 192$

Schritt 1.7.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 + 12 \cdot 2^{2} + 76 \cdot 2 - 192$

Schritt 1.7.1.1.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 8 + 12 \cdot 4 + 76 \cdot 2 - 192$

Schritt 1.7.1.1.3.5

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$- 8 + 48 + 76 \cdot 2 - 192$

Schritt 1.7.1.1.3.6

Addiere $- 8$ und $48$ .

$40 + 76 \cdot 2 - 192$

Schritt 1.7.1.1.3.7

Mutltipliziere $76$ mit $2$ .

$40 + 152 - 192$

Schritt 1.7.1.1.3.8

Addiere $40$ und $152$ .

$192 - 192$

Schritt 1.7.1.1.3.9

Subtrahiere $192$ von $192$ .

$0$

Schritt 1.7.1.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- λ^{3} + 12 λ^{2} + 76 λ - 192}{λ - 2}$

Schritt 1.7.1.1.5

Dividiere $- λ^{3} + 12 λ^{2} + 76 λ - 192$ durch $λ - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$76 λ$

$192$

Schritt 1.7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$

Schritt 1.7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- λ^{3} + 2 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 λ^{2} - 20 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$
							+	$96 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$
							+	$96 λ$	-	$192$

Schritt 1.7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $96 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$	+	$96$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$
							+	$96 λ$	-	$192$

Schritt 1.7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$	+	$96$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$
							+	$96 λ$	-	$192$
							+	$96 λ$	-	$192$

Schritt 1.7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $96 λ - 192$

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$	+	$96$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$
							+	$96 λ$	-	$192$
							-	$96 λ$	+	$192$

Schritt 1.7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$10 λ$	+	$96$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$12 λ^{2}$	+	$76 λ$	-	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$10 λ^{2}$	+	$76 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$
							+	$96 λ$	-	$192$
							-	$96 λ$	+	$192$
										$0$

Schritt 1.7.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- λ^{2} + 10 λ + 96$

Schritt 1.7.1.1.6

Schreibe $- λ^{3} + 12 λ^{2} + 76 λ - 192$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 10 λ + 96) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 96 = - 96$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 λ$ heraus.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 10 (λ) + 96) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.1.2

Schreibe $10$ um als $- 6$ plus $16$

$(λ - 2) (- λ^{2} + (- 6 + 16) λ + 96) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(λ - 2) (- λ^{2} - 6 λ + 16 λ + 96) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(λ - 2) ((- λ^{2} - 6 λ) + 16 λ + 96) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(λ - 2) (λ (- λ - 6) - 16 (- λ - 6)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- λ - 6$ .

$(λ - 2) ((- λ - 6) (λ - 16)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 2) (- λ - 6) (λ - 16) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

$- λ - 6 = 0$

$λ - 16 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ - 2$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.3.1

Setze $λ - 2$ gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

Schritt 1.7.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 2$

Schritt 1.7.4

Setze $- λ - 6$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

Setze $- λ - 6$ gleich $0$ .

$- λ - 6 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Löse $- λ - 6 = 0$ nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- λ = 6$

Schritt 1.7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- λ = 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- λ = 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{6}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{λ}{1} = \frac{6}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.2.2

Dividiere $λ$ durch $1$ .

$λ = \frac{6}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.2.2.3.1

Dividiere $6$ durch $- 1$ .

$λ = - 6$

Schritt 1.7.5

Setze $λ - 16$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.5.1

Setze $λ - 16$ gleich $0$ .

$λ - 16 = 0$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 16$

Schritt 1.7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ - 2) (- λ - 6) (λ - 16) = 0$ wahr machen.

$λ = 2, - 6, 16$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $- 2$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} - 4 - 2 & - 8 + 0 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 - 2 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 + 0 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 - 2 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 - 2 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $- 6$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 \\ - 8 + 0 & 6 - 2 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 - 2 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 4 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.6

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 4 & - 8 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.7

Addiere $8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 4 & - 8 \\ 8 & - 7 + 0 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.8

Addiere $- 7$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 4 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.9

Subtrahiere $2$ von $10$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 4 & - 8 \\ 8 & - 7 & 8 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & - 8 & - 6 & 0 \\ - 8 & 4 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot - 8 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot 0 \\ - 8 & 4 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ - 8 & 4 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ - 8 + 8 \cdot 1 & 4 + 8 (\frac{4}{3}) & - 8 + 8 \cdot 1 & 0 + 8 \cdot 0 \\ 8 & - 7 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{44}{3} & 0 & 0 \\ 8 & - 7 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{44}{3} & 0 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 7 - 8 (\frac{4}{3}) & 8 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{44}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{53}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{44}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{44}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ \frac{3}{44} \cdot 0 & \frac{3}{44} \cdot \frac{44}{3} & \frac{3}{44} \cdot 0 & \frac{3}{44} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{53}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{53}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{53}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{53}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{53}{3} \cdot 0 & - \frac{53}{3} + \frac{53}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{53}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{53}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 & 1 - \frac{4}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $6$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} - 4 + 6 & - 8 + 0 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 + 6 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Addiere $- 4$ und $6$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 + 0 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 + 6 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 + 6 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $- 6$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 \\ - 8 + 0 & 6 + 6 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 + 6 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Addiere $6$ und $6$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 12 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 12 & - 8 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Addiere $8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 12 & - 8 \\ 8 & - 7 + 0 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Addiere $- 7$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 12 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 + 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Addiere $10$ und $6$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 12 & - 8 \\ 8 & - 7 & 16 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & - 6 & 0 \\ - 8 & 12 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & 16 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 8}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{0}{2} \\ - 8 & 12 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & 16 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ - 8 & 12 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & 16 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ - 8 + 8 \cdot 1 & 12 + 8 \cdot - 4 & - 8 + 8 \cdot - 3 & 0 + 8 \cdot 0 \\ 8 & - 7 & 16 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ 0 & - 20 & - 32 & 0 \\ 8 & - 7 & 16 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ 0 & - 20 & - 32 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 7 - 8 \cdot - 4 & 16 - 8 \cdot - 3 & 0 - 8 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ 0 & - 20 & - 32 & 0 \\ 0 & 25 & 40 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot - 20 & - \frac{1}{20} \cdot - 32 & - \frac{1}{20} \cdot 0 \\ 0 & 25 & 40 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & 0 \\ 0 & 25 & 40 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 25 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 25 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & 0 \\ 0 - 25 \cdot 0 & 25 - 25 \cdot 1 & 40 - 25 (\frac{8}{5}) & 0 - 25 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 3 + 4 (\frac{8}{5}) & 0 + 4 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{17}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{17}{5} z = 0$

$y + \frac{8}{5} z = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{17 z}{5} \\ - \frac{8 z}{5} \\ z \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{17}{5} \\ - \frac{8}{5} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{17}{5} \\ - \frac{8}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{17}{5} \\ - \frac{8}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] - 16 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $- 16$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 \cdot 1 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & 0 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & 0 & 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & 0 & 0 \\ 0 & - 16 \cdot 1 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & 0 & 0 \\ 0 & - 16 & - 16 \cdot 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & 0 & 0 \\ 0 & - 16 & 0 \\ - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & 0 & 0 \\ 0 & - 16 & 0 \\ 0 & - 16 \cdot 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & 0 & 0 \\ 0 & - 16 & 0 \\ 0 & 0 & - 16 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 16 & 0 & 0 \\ 0 & - 16 & 0 \\ 0 & 0 & - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} - 4 - 16 & - 8 + 0 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 - 16 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $16$ von $- 4$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 + 0 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 - 16 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 + 0 \\ - 8 + 0 & 6 - 16 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $- 6$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 \\ - 8 + 0 & 6 - 16 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 \\ - 8 & 6 - 16 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.5

Subtrahiere $16$ von $6$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 \\ - 8 & - 10 & - 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $- 8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 \\ - 8 & - 10 & - 8 \\ 8 + 0 & - 7 + 0 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.7

Addiere $8$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 \\ - 8 & - 10 & - 8 \\ 8 & - 7 + 0 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.8

Addiere $- 7$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 \\ - 8 & - 10 & - 8 \\ 8 & - 7 & 10 - 16 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.9

Subtrahiere $16$ von $10$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 \\ - 8 & - 10 & - 8 \\ 8 & - 7 & - 6 \end{array}]$

Schritt 5.3

Find the null space when $λ = 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 20 & - 8 & - 6 & 0 \\ - 8 & - 10 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & - 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{20}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{20}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{20} \cdot - 20 & - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot - 6 & - \frac{1}{20} \cdot 0 \\ - 8 & - 10 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & - 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ - 8 & - 10 & - 8 & 0 \\ 8 & - 7 & - 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ - 8 + 8 \cdot 1 & - 10 + 8 (\frac{2}{5}) & - 8 + 8 (\frac{3}{10}) & 0 + 8 \cdot 0 \\ 8 & - 7 & - 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{34}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 8 & - 7 & - 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{34}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 7 - 8 (\frac{2}{5}) & - 6 - 8 (\frac{3}{10}) & 0 - 8 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{34}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{51}{5} & - \frac{42}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{34}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{34}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ - \frac{5}{34} \cdot 0 & - \frac{5}{34} (- \frac{34}{5}) & - \frac{5}{34} (- \frac{28}{5}) & - \frac{5}{34} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{51}{5} & - \frac{42}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{17} & 0 \\ 0 & - \frac{51}{5} & - \frac{42}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{51}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{51}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{17} & 0 \\ 0 + \frac{51}{5} \cdot 0 & - \frac{51}{5} + \frac{51}{5} \cdot 1 & - \frac{42}{5} + \frac{51}{5} \cdot \frac{14}{17} & 0 + \frac{51}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{3}{10} - \frac{2}{5} \cdot \frac{14}{17} & 0 - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{34} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{34} z = 0$

$y + \frac{14}{17} z = 0$

$0 = 0$

Schritt 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{34} \\ - \frac{14 z}{17} \\ z \end{array}]$

Schritt 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{34} \\ - \frac{14}{17} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{34} \\ - \frac{14}{17} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{34} \\ - \frac{14}{17} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{17}{5} \\ - \frac{8}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{34} \\ - \frac{14}{17} \\ 1 \end{array}]}$